Tính Khoảng Cách Giữa 2 Đường Thẳng Bằng Phương Pháp Tọa Độ

Bài viết trình bày công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau vào hệ trục tọa độ không khí Oxyz và hướng dẫn vận dụng công thức giải một số trong những bài tập trắc nghiệm liên quan.

Bạn đang xem: Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng bằng phương pháp tọa độ

1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁNCho hai tuyến phố thẳng chéo nhau $d_1$ cùng $d_2$ gồm phương trình: $d_1:left{ eginarray*20lx = x_1 + a_1t\y = y_1 + b_1t\z = z_1 + c_1tendarray ight.$ cùng $d_2:left{ eginarray*20lx = x_2 + a_2t’\y = y_2 + b_2t’\z = z_2 + c_2t’endarray ight.$ $left( t;t’ in R ight).$ Ta tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo cánh nhau $d_1$ cùng $d_2$ theo một trong số cách sau:Cách 1:

*

+ cách 1: khẳng định các vectơ chỉ phương $vec a_1$ của $d_1$, $vec a_2$ của $d_2.$+ bước 2: xác định các điểm $M_1 in d_1$, $M_2 in d_2.$+ Bước 3: lúc đó $dleft( d_1;d_2 ight)$ $ = fracleft left< vec a_1,vec a_2 ight> ight.$Cách 2:

*

+ bước 1: hotline $H in d_1$, $K in d_2$ (lúc này $H$, $K$ gồm toạ độ phụ thuộc ẩn $t$, $t’$).+ bước 2: khẳng định $H$, $K$ dựa vào:$left{ eginarray*20lHK ot d_1\HK ot d_2endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20loverrightarrow HK .vec a_1 = 0\overrightarrow HK .vec a_2 = 0endarray ight..$+ cách 3: cơ hội đó: $dleft( d_1;d_2 ight) = HK.$Nhận xét: trong vô số nhiều bài toán yêu mong viết phương trình con đường vuông góc chung thì cần sử dụng biện pháp 2.

2. BÀI TẬP ÁP DỤNGVí dụ 1: Trong không khí với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ nửa hai con đường thẳng $Delta _1:fracx – 2 – 1 = fracy – 12 = fracz – 2 – 1$, $Delta _2:fracx – 12 = fracy – 1 = fracz – 1 – 1.$A. $d = sqrt 3 .$B. $d = frac3sqrt 3 2.$C. $d = 2sqrt 3 .$D. $d = 3sqrt 3 .$

Lời giải:Kiểm tra được $Delta _1$ với $Delta _2$ chéo cánh nhau.Cách 1: (Tính độ dài đoạn vuông góc chung).Đường trực tiếp $Delta _1$ có một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 1;2; – 1).$Đường thẳng $Delta _2$ gồm một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (2; – 1; – 1).$Ta bao gồm $Delta _1:left{ eginarray*20lx = 2 – t\y = 1 + 2t\z = 2 – tendarray ight.$ và $Delta _2:left{ eginarray*20lx = 1 + 2k\y = – k\z = 1 – kendarray ight..$Gọi $H(2 – t;1 + 2t;2 – t) in Delta _1$, $K(1 + 2k; – k;1 – k) in Delta _2.$$HK$ là đoạn vuông góc chung của $Delta _1$ cùng $Delta _2$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20loverrightarrow HK .vec u_1 = 0\overrightarrow HK .vec u_2 = 0endarray ight..$$ Leftrightarrow left{ eginarray*20lt = 0\k = 0endarray ight.$ $ Rightarrow H(2;1;2)$, $K(1;0;1)$ $ Rightarrow overrightarrow HK = ( – 1; – 1; – 1)$ $ Rightarrow dleft( Delta _1;Delta _2 ight) = HK = sqrt 3 .$Cách 2: (Sử dụng công thức).Đường trực tiếp $Delta _1$ gồm một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 1;2; – 1).$Đường thẳng $Delta _2$ có một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (2; – 1; – 1).$Chọn $A(2;1;2) in Delta _1$, $B(1;0;1) in Delta _2$ $ Rightarrow overrightarrow AB = ( – 1; – 1; – 1).$Lúc đó: $d = fracleft left< vec u_1,vec u_2 ight> ight = sqrt 3 .$Chọn giải đáp A.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, call $M$, $N$ là những điểm bất cứ lần lượt trực thuộc $Delta _1:fracx – 2 – 1 = fracy – 12 = fracz – 2 – 1$ và $Delta _2:fracx – 12 = fracy – 1 = fracz – 1 – 1.$ Tính độ dài ngắn tuyệt nhất của đoạn thẳng $MN.$A. $2sqrt 3 .$B. $sqrt 3 .$C. $4sqrt 3 .$D. $frac3sqrt 3 2.$

Lời giải:Kiểm tra được $Delta _1$ và $Delta _2$ chéo cánh nhau. Độ lâu năm ngắn tốt nhất của đoạn thẳng $MN$ là khoảng cách giữa hai tuyến đường thẳng $Delta _1$ với $Delta _2.$Đường thẳng $Delta _1$ có một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 1;2; – 1).$Đường thẳng $Delta _2$ tất cả một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (2; – 1; – 1).$Chọn $A(2;1;2) in Delta _1$, $B(1;0;1) in Delta _2$ $ Rightarrow overrightarrow AB = ( – 1; – 1; – 1).$Lúc đó: $d = fracleft = sqrt 3 $ $ Rightarrow MN_min = sqrt 3 .$Chọn lời giải B.

Ví dụ 3: Trong không khí với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt mong có buôn bán kính nhỏ dại nhất và đồng thời xúc tiếp với hai tuyến phố thẳng $Delta _1:fracx – 2 – 1 = fracy – 12 = fracz – 2 – 1$, $Delta _2:fracx – 12 = fracy – 1 = fracz – 1 – 1.$A. $left( x – frac32 ight)^2 + left( y – frac12 ight)^2 + left( z – frac32 ight)^2 = 3.$B. $left( x + frac32 ight)^2 + left( y + frac12 ight)^2 + left( z + frac32 ight)^2 = frac34.$C. $left( x – frac32 ight)^2 + left( y – frac12 ight)^2 + left( z – frac32 ight)^2 = frac34.$D. $(x – 1)^2 + (y – 2)^2 + (z + 1)^2 = frac34.$

Lời giải:Kiểm tra được $Delta _1$ và $Delta _2$ chéo cánh nhau. Hotline $HK$ là đoạn vuông góc tầm thường của $Delta _1$ cùng $Delta _2$ $ Rightarrow $ mặt cầu nên tìm là mặt ước có đường kính $HK.$Đường thẳng $Delta _1$ có một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 1;2; – 1).$Đường trực tiếp $Delta _2$ có một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (2; – 1; – 1).$Ta gồm $Delta _1:left{ eginarray*20lx = 2 – t\y = 1 + 2t\z = 2 – tendarray ight.$ và $Delta _2:left{ eginarray*20lx = 1 + 2k\y = – k\z = 1 – kendarray ight..$Gọi $H(2 – t;1 + 2t;2 – t) in Delta _1$, $K(1 + 2k; – k;1 – k) in Delta _2.$$HK$ là đoạn vuông góc tầm thường của $Delta _1$ cùng $Delta _2$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20loverrightarrow HK .vec u_1 = 0\overrightarrow HK .vec u_2 = 0endarray ight..$$ Leftrightarrow left{ eginarray*20lt = 0\k = 0endarray ight.$ $ Rightarrow H(2;1;2)$, $K(1;0;1)$ $ Rightarrow overrightarrow HK = ( – 1; – 1; – 1)$ $ Rightarrow HK = sqrt 3 .$Mặt cầu cần tìm tất cả tâm $Ileft( frac32;frac12;frac32 ight)$ là trung điểm $HK$, nửa đường kính $R = fracHK2 = fracsqrt 3 2$ bao gồm phương trình: $(S):left( x – frac32 ight)^2 + left( y – frac12 ight)^2 + left( z – frac32 ight)^2 = frac34.$Chọn giải đáp C.

Ví dụ 4: Trong không khí với hệ tọa độ $Oxyz$, điện thoại tư vấn $vec u(1;a;b)$ $(a;b in R)$ là một trong vectơ chỉ phương của mặt đường vuông góc bình thường của hai tuyến đường thẳng $Delta _1:fracx – 2 – 1 = fracy – 12 = fracz – 2 – 1$ với $Delta _2:fracx – 12 = fracy – 1 = fracz – 1 – 1.$ Tính tổng $S = a + b.$A. $S=2.$B. $S=-2.$C. $S=4.$D. $S=-4.$

Lời giải:Kiểm tra được $Delta _1$ với $Delta _2$ chéo nhau.Cách 1: (Tìm đoạn vuông góc chung).Đường trực tiếp $Delta _1$ có một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 1;2; – 1).$Đường thẳng $Delta _2$ tất cả một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (2; – 1; – 1).$Ta bao gồm $Delta _1:left{ eginarray*20lx = 2 – t\y = 1 + 2t\z = 2 – tendarray ight.$ và $Delta _2:left{ eginarray*20lx = 1 + 2k\y = – k\z = 1 – kendarray ight..$Gọi $H(2 – t;1 + 2t;2 – t) in Delta _1$, $K(1 + 2k; – k;1 – k) in Delta _2.$$HK$ là đoạn vuông góc phổ biến của $Delta _1$ và $Delta _2$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20loverrightarrow HK .vec u_1 = 0\overrightarrow HK .vec u_2 = 0endarray ight..$$ Leftrightarrow left{ eginarray*20lt = 0\k = 0endarray ight.$ $ Rightarrow H(2;1;2)$, $K(1;0;1)$ $ Rightarrow overrightarrow HK = ( – 1; – 1; – 1).$Đường vuông góc chung bao gồm vectơ chỉ phương dạng $moverrightarrow HK $ $(m in R,m e 0)$, từ trả thiết suy ra $a = 1$, $b = 1$ $ Rightarrow S = a + b = 2.$Cách 2:Đường trực tiếp $Delta _1$ gồm một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 1;2; – 1).$Đường trực tiếp $Delta _2$ có một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (2; – 1; – 1).$Do $vec u(1;a;b)$ là một vectơ chỉ phương của đường vuông góc thông thường của hai tuyến phố thẳng $Delta _1$ với $Delta _2$ suy ra:$left{ eginarray*20lvec u.vec u_1 = 0\vec u.vec u_2 = 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20l – 1 + 2a – b = 0\2 – a – b = 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20la = 1\b = 1endarray ight.$ $ Rightarrow vec u = (1;1;1).$Vậy $a = 1$, $b = 1$ $ Rightarrow S = a + b = 2.$Chọn câu trả lời A.

Xem thêm: Và Anh Sẽ Đưa Em Đến Nơi Chân Trời Tím (Trần Thiện Thanh), Lời Bài Hát Chân Trời Tím

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình con đường vuông góc chung của hai đường thẳng $Delta _1:fracx – 1 – 1 = fracy1 = fracz – 1 – 1$, $Delta _2:fracx – 24 = fracy + 12 = fracz + 11.$A. $fracx – 11 = fracy1 = fracz – 1 – 2.$B. $fracx – 11 = fracy2 = fracz – 11.$C. $fracx – 11 = fracy – 1 = fracz + 1 – 2.$D. $fracx – 11 = fracy – 1 = fracz – 1 – 2.$

Lời giải:Kiểm tra được $Delta _1$ cùng $Delta _2$ chéo cánh nhau.Đường thẳng $Delta _1$ tất cả một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 1;1; – 1).$Đường trực tiếp $Delta _2$ gồm một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (4;2;1).$Ta tất cả $Delta _1:left{ eginarray*20lx = 1 – t\y = t\z = 1 – tendarray ight.$ cùng $Delta _2:left{ eginarray*20lx = 2 + 4k\y = – 1 + 2k\z = – 1 + kendarray ight..$Gọi $H(1 – t;t;1 – t) in Delta _1$, $K(2 + 4k; – 1 + 2k; – 1 + k) in Delta _2.$$HK$ là đoạn vuông góc tầm thường của $Delta _1$ với $Delta _2$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20loverrightarrow HK .vec u_1 = 0\overrightarrow HK .vec u_2 = 0endarray ight..$$ Leftrightarrow left{ eginarray*20lt = 0\k = 0endarray ight.$ $ Rightarrow H(1;0;1)$, $K(2; – 1; – 1)$ $ Rightarrow overrightarrow HK = (1; – 1; – 2).$Đường vuông góc chung buộc phải tìm là đường thẳng qua $H(1;0;1)$ và gồm một vectơ chỉ phương là $overrightarrow HK = (1; – 1; – 2)$, có phương trình: $fracx – 11 = fracy – 1 = fracz – 1 – 2.$Chọn lời giải D.

Ví dụ 6: Trong không khí với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ nửa hai con đường thẳng $Delta _1:left{ eginarray*20lx = 2 – 2t\y = 1 + t\z = 1endarray ight.$, $Delta _2:fracx – 34 = fracy – 3 – 1 = fracz – 3 – 1.$A. $d = sqrt 6 .$B. $d = frac3sqrt 3 2.$C. $d = 2sqrt 3 .$D. $d = 3.$

Lời giải:Kiểm tra được $Delta _1$ và $Delta _2$ chéo nhau.Cách 1: (Tính độ nhiều năm đoạn vuông góc chung).Đường thẳng $Delta _1$ có một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 2;1;0).$Đường trực tiếp $Delta _2$ bao gồm một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (4; – 1; – 1).$Ta tất cả $Delta _1:left{ eginarray*20lx = 2 – 2t\y = 1 + t\z = 1endarray ight.$ cùng $Delta _2:left{ eginarray*20lx = 3 + 4k\y = 3 – k\z = 3 – kendarray ight..$Gọi $H(2 – 2t;1 + t;1) in Delta _1$, $K(3 + 4k;3 – k;3 – k) in Delta _2.$$HK$ là đoạn vuông góc bình thường của $Delta _1$ cùng $Delta _2$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20loverrightarrow HK .vec u_1 = 0\overrightarrow HK .vec u_2 = 0endarray ight..$$ Leftrightarrow left{ eginarray*20lt = 0\k = 0endarray ight.$ $ Rightarrow H(2;1;1)$, $K(3;3;3)$ $ Rightarrow overrightarrow HK = (1;2;2)$ $ Rightarrow dleft( Delta _1;Delta _2 ight) = HK = 3.$Cách 2: (Sử dụng công thức).Đường trực tiếp $Delta _1$ gồm một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 2;1;0).$Đường trực tiếp $Delta _2$ bao gồm một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (4; – 1; – 1).$Chọn $A(2;1;1) in Delta _1$, $B(3;3;3) in Delta _2$ $ Rightarrow overrightarrow AB = (1;2;2).$Lúc đó: $d = frac = 3.$Chọn giải đáp D.

Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt đường vuông góc phổ biến của hai tuyến đường thẳng: $Delta _1:left{ eginarray*20lx = 2 – 2t\y = 1 + t\z = 1endarray ight.$, $Delta _2:fracx – 34 = fracy – 3 – 1 = fracz – 3 – 1.$A. $fracx – 21 = fracy – 12 = fracz – 1 – 2.$B. $fracx – 21 = fracy – 12 = fracz – 12.$C. $fracx – 21 = fracy – 12 = fracz + 12.$D. $fracx – 11 = fracy – 22 = fracz – 22.$

Lời giải:Kiểm tra được $Delta _1$ và $Delta _2$ chéo cánh nhau.Đường trực tiếp $Delta _1$ tất cả một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 2;1;0).$Đường trực tiếp $Delta _2$ bao gồm một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (4; – 1; – 1).$Ta có $Delta _1:left{ eginarray*20lx = 2 – 2t\y = 1 + t\z = 1endarray ight.$ và $Delta _2:left{ eginarray*20lx = 3 + 4k\y = 3 – k\z = 3 – kendarray ight..$Gọi $H(2 – 2t;1 + t;1) in Delta _1$, $K(3 + 4k;3 – k;3 – k) in Delta _2.$$HK$ là đoạn vuông góc thông thường của $Delta _1$ và $Delta _2$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20loverrightarrow HK .vec u_1 = 0\overrightarrow HK .vec u_2 = 0endarray ight..$$ Leftrightarrow left{ eginarray*20lt = 0\k = 0endarray ight.$ $ Rightarrow H(2;1;1)$, $K(3;3;3)$ $ Rightarrow overrightarrow HK = (1;2;2).$Đường vuông góc chung buộc phải tìm là con đường thẳng qua $H(2;1;1)$ và có một vectơ chỉ phương là $overrightarrow HK = (1;2;2)$, gồm phương trình: $fracx – 21 = fracy – 12 = fracz – 12.$Chọn câu trả lời B.

Ví dụ 8: Trong không khí với hệ tọa độ $Oxyz$, hotline $M$, $N$ là những điểm bất kể lần lượt ở trong $Delta _1:left{ eginarray*20lx = 2 – 2t\y = 1 + t\z = 1endarray ight.$ cùng $Delta _2:fracx – 34 = fracy – 3 – 1 = fracz – 3 – 1.$ Tính độ dài ngắn tuyệt nhất của đoạn trực tiếp $MN.$A. $2sqrt 3 .$B. $3.$C. $4sqrt 3 .$D. $frac3sqrt 3 2.$

Lời giải:Kiểm tra được $Delta _1$ và $Delta _2$ chéo nhau. Độ nhiều năm ngắn tốt nhất của đoạn thẳng $MN$ là khoảng cách giữa hai tuyến đường thẳng $Delta _1$ và $Delta _2.$Đường thẳng $Delta _1$ có một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 2;1;0).$Đường thẳng $Delta _2$ tất cả một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (4; – 1; – 1).$Chọn $A(2;1;1) in Delta _1$, $B(3;3;3) in Delta _2$ $ Rightarrow overrightarrow AB = (1;2;2).$Lúc đó: $d = frac overrightarrow AB .left< vec u_1,vec u_2 ight> ight left< vec u_1,vec u_2 ight> ight = 3$ $ Rightarrow MN_min = 3.$Chọn lời giải B.

Ví dụ 9: Trong không khí với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu có cung cấp kính nhỏ nhất và đồng thời tiếp xúc với hai đường thẳng $Delta _1:left{ eginarray*20lx = 2 – 2t\y = 1 + t\z = 1endarray ight.$, $Delta _2:fracx – 34 = fracy – 3 – 1 = fracz – 3 – 1.$A. $left( x – frac52 ight)^2 + (y – 2)^2 + (z + 2)^2 = frac94.$B. $left( x – frac52 ight)^2 + (y – 2)^2 + (z – 2)^2 = frac94.$C. $left( x – frac52 ight)^2 + (y – 2)^2 + (z – 2)^2 = frac92.$D. $left( x + frac52 ight)^2 + (y + 2)^2 + (z + 2)^2 = frac94.$

Lời giải:Kiểm tra được $Delta _1$ cùng $Delta _2$ chéo nhau. Hotline $HK$ là đoạn vuông góc bình thường của $Delta _1$ và $Delta _2$, suy ra mặt cầu đề nghị tìm là mặt ước có 2 lần bán kính $HK.$Đường thẳng $Delta _1$ gồm một vectơ chỉ phương là $vec u_1 = ( – 2;1;0).$Đường trực tiếp $Delta _2$ tất cả một vectơ chỉ phương là $vec u_2 = (4; – 1; – 1).$Ta tất cả $Delta _1:left{ eginarray*20lx = 2 – 2t\y = 1 + t\z = 1endarray ight.$ và $Delta _2:left{ eginarray*20lx = 3 + 4k\y = 3 – k\z = 3 – kendarray ight..$Gọi $H(2 – 2t;1 + t;1) in Delta _1$, $K(3 + 4k;3 – k;3 – k) in Delta _2.$$HK$ là đoạn vuông góc chung của $Delta _1$ và $Delta _2$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20loverrightarrow HK .vec u_1 = 0\overrightarrow HK .vec u_2 = 0endarray ight..$$ Leftrightarrow left{ eginarray*20lt = 0\k = 0endarray ight.$ $ Rightarrow H(2;1;1)$, $K(3;3;3)$ $ Rightarrow overrightarrow HK = (1;2;2)$ $ Rightarrow HK = 3.$Mặt cầu bắt buộc tìm có tâm $Ileft( frac52;2;2 ight)$ là trung điểm $HK$, bán kính $R = fracHK2 = frac32$ có phương trình: $(S):left( x – frac52 ight)^2 + (y – 2)^2 + (z – 2)^2 = frac94.$Chọn đáp án B.

Ví dụ 10: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ nửa hai con đường thẳng $Delta :fracx – 12 = fracy1 = fracz + 41$ và trục $Oy.$A. $d = frac3sqrt 5 5.$B. $d = frac3sqrt 3 2.$C. $d = frac7sqrt 5 5.$D. $d = 3.$

Lời giải:Kiểm tra được $Delta $ với $Oy$ chéo nhau.Đường thẳng $Delta $ gồm một vectơ chỉ phương là $vec u_Delta = (2;1; – 1).$Đường thẳng cất trục $Oy$ tất cả một vectơ chỉ phương là $vec u = (0;1;0).$Chọn $O(0;0;0) in Oy$, $A(1;0; – 4) in Delta $ $ Rightarrow overrightarrow OA = (1;0; – 4).$Lúc đó: $d = fracleft = frac7sqrt 5 5.$Chọn câu trả lời C.

3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN1. ĐỀ BÀICâu 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường vuông góc bình thường của hai tuyến đường thẳng $Delta _1:fracx – 2 – 1 = fracy – 12 = fracz – 2 – 1$, Delta_2: fracx-12=fracy-1=fracz-1-1A. $fracx – 11 = fracy – 12 = fracz – 11.$B. $fracx – 11 = fracy2 = fracz – 11.$C. $fracx + 11 = fracy1 = fracz + 11.$D. $fracx – 11 = fracy1 = fracz – 11.$

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ giữa hai con đường thẳng $Delta _1:fracx – 1 – 1 = fracy1 = fracz – 1 – 1$, $Delta _2:fracx – 24 = fracy + 12 = fracz + 11.$A. $d = sqrt 6 .$B. $d = frac3sqrt 3 2.$C. $d = 2sqrt 3 .$D. $d = 3sqrt 3 .$

Câu 3: Trong không khí với hệ tọa độ $Oxyz$, điện thoại tư vấn $M$, $N$ là các điểm bất kể lần lượt nằm trong $Delta _1:fracx – 1 – 1 = fracy1 = fracz – 1 – 1$ cùng $Delta _2:fracx – 24 = fracy + 12 = fracz + 11.$ Tính độ lâu năm ngắn độc nhất vô nhị của đoạn trực tiếp $MN.$A. $2sqrt 3 .$B. $sqrt 6 .$C. $4sqrt 3 .$D. $frac3sqrt 3 2.$

Câu 4: Trong không khí với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt mong có bán kính nhỏ nhất cùng đồng thời xúc tiếp với hai đường thẳng $Delta _1:fracx – 1 – 1 = fracy1 = fracz – 1 – 1$, $Delta _2:fracx – 24 = fracy + 12 = fracz + 11.$A. $left( x – frac32 ight)^2 + left( y + frac12 ight)^2 + z^2 = frac34.$B. $left( x – frac32 ight)^2 + left( y – frac12 ight)^2 + z^2 = frac32.$C. $left( x – frac32 ight)^2 + left( y + frac12 ight)^2 + z^2 = frac32.$D. $(x – 1)^2 + (y – 2)^2 + (z + 1)^2 = frac34.$

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, hotline $M$, $N$ là các điểm bất kể lần lượt ở trong $Delta :fracx – 12 = fracy1 = fracz + 4 – 1$ và trục $Oy.$ Tính độ nhiều năm ngắn độc nhất của đoạn trực tiếp $MN.$A. $2sqrt 3 .$B. $frac7sqrt 5 5.$C. $4sqrt 3 .$D. $frac2sqrt 5 5.$

Câu 6: Trong không khí với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ giữa hai con đường thẳng $Delta :fracx + 11 = fracy – 2 = fracz + 22$ và trục $Oz.$A. $d = frac3sqrt 5 5.$B. $d = frac3sqrt 3 2.$C. $d = frac7sqrt 5 5.$D. $d = frac2sqrt 5 5.$

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mang lại tứ diện $ABCD$ với $A(1;1;2)$, $B(-3;3;4)$, $C(0;2;2)$, $D(0;1;-1).$ Tính khoảng cách $d$ giữa hai tuyến phố thẳng $AC$ cùng $BD.$A. $d = frac2sqrt 11 11.$B. $d = fracsqrt 51 51.$C. $d = frac8sqrt 51 51.$D. $d = frac2sqrt 15 11.$

Câu 8: cho hình chóp $S.ABCD$ bao gồm đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=1$, $AD=2$, $SA$ vuông góc cùng với đáy với $SA=2.$ điện thoại tư vấn $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SD$, $BC$, tính khoảng cách $d$ giữa hai tuyến phố thẳng $CM$ với $AN.$A. $d = frac2sqrt 6 3.$B. $d = fracsqrt 6 3.$C. $d = fracsqrt 6 6.$D. $d = fracsqrt 2 2.$

Câu 9: Trong không khí với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ giữa đường trực tiếp $Delta :fracx + 1 – 1 = fracy + 2 – 1 = fracz + 11$ với mặt phẳng $(P):x + y + 2z + 3 = 0.$A. $d = sqrt 3 .$B. $d = frac13.$C. $d = fracsqrt 6 3.$D. $d = frac23.$

Câu 10: Trong không khí với hệ tọa độ $Oxyz$, hotline $M$, $N$ là những điểm bất kì lần lượt thuộc $Delta :fracx + 1 – 1 = fracy + 2 – 1 = fracz + 11$ với mặt phẳng $(P):x + y + 2z + 3 = 0.$ Tính độ dài nhỏ nhất của đoạn trực tiếp $MN.$A. $d = sqrt 3 .$B. $d = frac13.$C. $d = fracsqrt 6 3.$D. $d = frac23.$